数学运算之精选应用题（4）

31. 某路公共汽车,包括起点和终点共有15个车站,有一辆车除终点外,每一站上车的乘客中,恰好有一位乘客到以后的每一站下车,为了使每位乘客都有座位,问这辆公共汽车最少要有多少各座位?
    A53 B54 C55 D56
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【解析】
这个题目实际上是寻找何时是峰值，我们按照题目的要求，所有的条件都是选择最小数字完成，那么就符合题目的要最少需要安排多少个座位。
题目要求： 汽车驶出起始站 在后面的每站都有人下车，一直到最后一直站。那说明起始站上车的最少人数应该是14人（确保每站都有一个人下车）
同理要的前面上车的人 后面每站都有1人下车，说明第1站上车的人 至少是13人。以此类推。第2站是需要12人 ，第3站需要11人。。。。
我们看车子上面什么时候人数最多。当上车人数>=下车人数的时候 车子上的人一直在增加。知道相等 达到饱和 。
我们看到上车的人数从起始站开始，下车的人数也是从起始站开始。列举一下
起始站（上车）：14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0
起始站（下车）：0 ，1， 2， 3， 4， 5，6，7，8，9，…………..
我们发现当上车人数＝7的时候下车人数也是7
达到最大值
所以答案是
14＋（13－1）＋（12－2）＋（11－3）＋（10－4）＋（9－5）＋（8－6）＝56人

32. 自然数乘1999，末尾6位数都是9，是哪个数？（ ）
    A .2001 B.2011 C.2111 D.20001
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【解析】
此题看上去貌似很复杂，其实还是我们常见的考察知识点
我们知道这个数末尾6个数字全是9 ，如果这个数字＋1，那么末尾6个数字应该都是0了
我们根据平方差公示 这个数的开方应该是3个0
A^2-1=(A+1)*(A-1)
因为一个数字是1999
只能是A－1＝1999
A＝2000
那么另外一个数字就是A＋1＝2001
选A

33. 参加会议的人两两都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有（）人。
    A. 9    B. 10    C. 11    D. 12
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【解析】

每个人握手的次数是N－1次，N人就握手了N×（N－1）次 但是每2个人之间按照上述方法计算重复了一次。 所以要除以2， 即公式是 N×（N－1）÷2＝36  这样N＝9
如果不理解。我们还可以这样考虑
假设这些人排成一排。 第一个人依次向排尾走去。一个一个的握手。第2个人跟着第一个人也是这样。第一个人是N－1次。第2个人是N－2次 第3个人是N－3次
、、、、、、最后第2人是1次，最后一个人不动，所以他主动握手的次数是0次。
这样我们就看出这些人握手的次数是一个线段法则规则 我在我的45题练习里面解析了关于线段法则的运用情况
即总握手次数就是 1＋2＋3＋4＋5＋、、、、、、＋N－1    计算公式 就是（首项＋尾项）×项数÷2

当然如果是这样的题目 你还可以通过排列组合计算 这么多人中 任意挑出2人即多少种就有多少次握手： Cn取2＝36  也就是  N×（N－1）÷2！＝36  解得 N＝9  这个gwy360.com只适用于比较简单的握手游戏 取2 如果C取值大于2 则就不要用排列组合了，

例如这样一道例题：
某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次， 请问这个班的同学有（ ）人
A、16 B、17 C、18 D、19
【天使在唱歌解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人则Cx取3＝152 但是在计算X时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－3次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-3）次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x×（x-3）÷2＝152 计算的x＝19人

34. 商场的自动扶梯匀速自下而上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上行走2个阶梯，女孩每2秒向上走3个阶梯。如果男孩用40秒到达，女孩用50秒到达，则当电梯停止时，可看到的扶梯级有：
A  80  B  100  C 120    D 140
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【解析】
关于电梯问题实际上也是一种行程问题，而不是我们所理解的“牛吃草”问题：但跟行程问题却又很大的不同！下面就来说说其不同之处！
行程问题里面我们常见的有2种
一种是相遇问题：同时想向而行！ 何时相遇的行程问题。

一种是追击问题：是一个人在另外一个人的前面，两个人同方向走。后面的人速度快，前面人速度慢，什么时候能追上的问题。

我们先分析2种模型：
（1）： 人的方向跟电梯方向同向
，当人在扶梯的底端开始往上走。而扶梯也是自动往上走，方向相同，我们发现虽然方向相同，但是扶梯是帮助人往同一个方向走的。并且共同走过了扶梯的总级数，
说明（人的速度＋扶梯的速度）×时间＝扶梯级数，这就好比行程问题里面的相遇问题。这不过这里的方向是同向。
（2）：人的方向跟电梯方向反向， 人本来是向上走的，但是扶梯的速度是向下的。行程了反向，人走的路程往往被扶梯同时间内出来的级数抵消一部分。所以人的速度一定要大于扶梯的速度才能到达顶部。当到达顶部的时候，我们不难发现。gwy360.com其实就是（人的速度－扶梯的速度）×时间＝扶梯级数。 这就好比行程问题里面的追击问题，只不过这里的方向是相反 ！

我们再来分析例题：首先确定是同向。确定为相遇问题
速度和×时间＝电梯级数
对于男生： （2＋V电梯）×40
对于女生： （1.5＋V电梯）×50
建立等式关系： （2＋V电梯）×40＝（1.5＋V电梯）×50

解得V电梯＝0.5 则电梯级数＝2.5×40＝100或者 2×50＝100

例如我们在举例一个反向的例子：
【例题练习】：商场的自动扶梯匀速自上而下行驶，两个孩子从下往上走，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上行走2个阶梯，女孩每2秒向上走3个阶梯。如果男孩用50秒到达，女孩用40秒到达，则当电梯停止时，可看到的扶梯级有：

A  80  B  100  C 120    D 140

35. 有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？

A 24
B 48
C 32
D 16
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【解析】
公式： mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48
公式的由来是通过2个十字交叉法得到的
你假设交换的部分是a克盐水
假设120克的盐水浓度是P1， 80克的盐水浓度是P2，
交换混合后相同的浓度是P
那么对于120克的盐水来讲建立十字交叉法

120－a（P1）                            P－P2   
                            P
a（P2）                                P1－P

我们得到 （120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P）
那么对于80克的盐水来讲建立十字交叉法
80－a（P2）                          P1－P   
                          P
a（P1）                              P－P2

我们得到
（80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2）
根据这2个比例的右边部分我们可以得到
（120－a）：a＝a：（80－a）
化简得到  a＝120×80/(120+80)  说明跟各自的浓度无关！
补充方法：
因为2种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将2种溶液直接混合，在按照比例分开成2部分。所以我们假设交换了a克
a克相对于120克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例
跟原始的参照质量也是同一比例。即
(120－a)/a=120/80  a=48克
或者 （80－a）/a=80/120  a=48克

36. 甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上?

A. 14  B.16    C.112    D.124

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【解析】
这种类型的题目我们首先求出其速度！
甲摇浆10次时乙摇浆8次 知道甲乙频率之比=5：4
而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲：乙＝7：9
所以，我们来看 相同时间gwy360.com内甲乙得速度之比，5×7：4×9＝35：36
说明，乙比甲多出1个比例单位
现在甲先划桨4次， 每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位， 所以甲领先乙是4×7＝28个单位
而事实上乙每4浆才能追上36－35＝1个单位，说明28个单位需要28×4＝112浆次追上！ 选C

37.
一个游泳者逆流游泳，在Ａ桥遗失一只空水壶，水壶浮在水面，随水漂流．游泳者继续逆游了１小时到达Ｄ桥，发觉水壶遗失，休息了１２分钟再游回去找寻水壶，又游了１.０５小时后，在Ｂ桥找到了水壶．求Ａ，Ｄ两桥的距离是Ａ，Ｂ两桥距离的几倍．
A．1.5倍    B 4/3倍    C 2倍      D 2.5倍
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【解析】
B。。。。。A。。。。。。。。。D
从A掉下是逆水行使到D 跟水壶的速度差都是静水速度。时间1小时，从D到B 是顺水行使，跟水壶的速度差也是静水速度。 所以追上水壶用时也应该是1小时。 但是因为中间休息了12分钟,水壶还在飘向B 所以才会延长了追上的时间延长了1.05-1=0.05小时
说明：
水壶速度：游泳者的静水速度＝时间的反比＝0.05小时：12分钟＝1：4
AD＝1小时的逆水＝（4－1）的水流速度
AB＝（1＋1.05＋0.2）小时的水流速度＝2.25
AD：AB＝3/2.25=4/3

38.
机场上停着10架飞机，第一架起飞后，每隔4分钟就有一架飞机接着起飞，而在第一架飞机起飞后2分钟，又有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分钟就有一架飞机在机场上降落，降落在飞机场上的飞机，又依次隔4分钟在原10架之后起飞。那么，从第一架飞机起飞之后，经过多少分钟，机场上第一次没有飞机停留？
A 104    B 108    C 112    D 116
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【解析】
这个题目类似于“青蛙跳井”问题，我们不能直接求最终结果，否则我们会忽略在临界点状态的一些变化。
碰到这种问题 首先就是求临界点是在什么时候发生，发生时的状况怎么样。这样才好判断。
例如“青蛙跳井”问题， 10米深的井，青蛙每次跳5米 就会下滑4米。 问几次能够跳上来。这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳5米的时候刚好到井口！也就是说我们只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，这里都是常规计算 （10－5）/(5-4)=5次。最后一次的时候 我们就无需考虑下滑了 因为已经到顶了。
同样这个题目很多人做出116分钟，其原因就是犯了这个错误。 我们必须先求临界点。
所谓的临界点就是
当机场剩下1架飞机的时候
假设是N分钟剩下一架飞机！
N/4 +1= (N-2)/6 + 1 +（10-1）
为什么两边都＋1 那是因为这是植树问题。 从0分钟开始计算的 所以要多加1次
解得N＝104分钟
所以我们知道104分钟的时候是临界点 飞机场只有1架飞机没有起飞。
当108分钟的时候，gwy360.com飞机起飞了。 而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候，
所以从108～110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象！
答案应该选B

39. 某校参加“祖冲之杯”数学邀请赛的选手平均分是75，其中男选手比女选手人数多百分之八十，而女选手比男选手的平均分高百分之二十，则女选手平均分是多少？
    A75    B 90    C70      D84
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【解析】
方法一：
就这个题目你可以建立十字交叉法来解答
假设男生平均成绩是a,女生 就是1.2a
男生人数跟女生人数之比就是最终之比 1.8:1=9:5

男生: a                                    1.2a-75      (9)

                全班平均成绩(75)

女生:1.2a                                  75-a          (5)

根据交叉法得到的比例 (1.2a-75):(75-a)=9:5
解得a=70。女生就是1.2a=84

方法二：
根据十字交叉法的公式我们发现，0.2a
是多出来的平均值,这就是两者的差值.
根据我们上面衍生出来的公式 应该=最重比例之和9+5=14 再乘以系数M
0.2a=14M    得  a=70M
因为分数不可能超过100    所以M只能=1,即a=70,女生就是1.2a=84

40. 甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3 ，而乙车则增速1/3 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？（
）
A. 1250    B. 940    C. 760    D. 1310
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【解析】
像这样的行程问题，比例法是最佳的解答方法。 首先我们确定需要几次相遇速度相等
我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等
160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方
N代表了次数 解得N＝3 说明第三次相遇即达到速度相等
第一次相遇前：
开始时 速度是160：20＝8：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比 ＝8：1
所以8－1＝1圈对应的比例即210 所以2人路程之和是210÷7×（8＋1）＝270
第二次相遇前：
速度比是 甲：乙＝4：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比＝4：1
所以4－1＝3等于1圈的距离对应的比例 即210  所以 这个阶段2人路程之和是 210÷3×（4＋1）＝350
第三次相遇前：
速度比是 甲：乙＝2：1 用时都一样，则路程之比＝速度之比=2：1
所以2－1＝1对应的是1圈的比例 即210  所以第3阶段2人路程之和 是210÷1×（2＋1）＝630
则总路程是 270＋350＋630＝1250