浅谈盐水交换问题中mn/(m+n)公式的由来

有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？

公式： mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48

公式的由来是通过2个十字交叉法得到的
你假设交换的部分是a克盐水

假设120克的盐水 浓度是P1， 80克的盐水浓度是P2，  交换混合后相同的浓度是P

那么对于120克的盐水来讲 建立十字交叉法

120－a（P1）                            P－P2   
                                P
a（P2）                                      P1－P

我们得到

（120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P）

那么对于80克的盐水来讲 建立十字交叉法

80－a（P2）                            P1－P   
                                P
a（P1）                                    P－P2

我们得到

（80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2）

根据这2个比例的右边部分我们可以得到

（120－a）：a＝a：（80－a）

化简得到  a＝120×80/(120+80)  说明跟各自的浓度无关！

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补充方法：
因为2种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将2种溶液直接混合，在按照比例分开成2部分。
所以我们假设交换了a克

a克相对于120克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例  跟原始的参照质量也是同一比例。
即
(120－a)/a=120/80  a=48克
或者
（80－a）/a=80/120  a=48克